Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang memuat tanda akar, misal $\sqrt{x+1}\geq x$ . Menyelesaikan persamaan irasional memerlukan kehati-hatian, bila tidak kita kadang merasa yakin benar, namun ternyata salah. Yang perlu diperhatikan adalah dalam hal memberi batasan (syarat), baik batasan di bawah tanda akar maupun batasan ketika mengkuadratkan kedua ruas.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1

Carilah semua x yang memenuhi $\dpi{80} \sqrt{x+6}\geq x$

Penyelesaian:
Syarat dibawah tanda akar adalah $x+6\geq 6\Leftrightarrow x\geq -6$
Syarat untuk mengkuadratkan kedua ruas harus postif atau 0 (tidak negatif). Ruas kiri memuat akar berarti nilainya selalu positif atau 0. Ruas kanan harus $x\geq 0$ .
Kedua syarat ini kita interseksikan menjadi $x\geq 0$ .
Kuadratkan kedua ruas, maka pertidaksamaan menjadi:
$x+6\geq x^{2}$
$x+6-x^{2}\geq 0$
$x^{2}-x-6\leq 0$
$(x+2)(x-3)\leq 0$
Jadi $-2\leq x\leq 3$
Karena syaratnya $x\geq 0$ maka $0\leq x\leq 3$ .
Sampai di sini belum selesai. Coba perhatikan pertidaksamaan diatas! Ruas kiri yaitu $\dpi{80} \sqrt{x+6}$ nilainya selau positif, sehingga ruas kanan, yaitu x akan memenuhi pertidaksamaan bila nilainya negatif, sehingga $x<0$ dan $x\geq -6$ (batasan dibawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan. $x<0$ dan $x\geq -6$ ekuivalen dengan $-6\leq x<0$

Jadi penyelesaiannya adalah gabungan dari $-6\leq x<0$ dan $0\leq x\leq 3$ .menjadi $-6\leq x\leq 3$

Contoh 2
Tentukan banyak penyelesaian bilangan bulat dari $\dpi{80} x< \sqrt{x-1}+3$

Penyelesaian:
$\dpi{80} x< \sqrt{x-1}+3$ ekuivalen dengan $\dpi{80} x-3<\sqrt{x-1}$
Syarat dibawah tanda akar adalah $x-1\geq 0$ atau $x\geq 1$
Syarat mengkuadratkan adalah kedua ruas harus positif atau 0. Ruas kanan pasti positif atau nol. Ruas kiri $x-3\geq 0$ atau $x\geq 3$ . Kedua syarat ini menjadi $x\geq 3$ .

Kuadratkan kedua ruas menjadi
x²- 6x + 9 < x - 1
x²- 6x + 9 - x + 1 < 0
x²-7x + 10 < 0
(x - 2)(x - 5) < 0
2 < x < 5
Jadi penyelesaiannya adalah 3 dan 4. Batasannya adalah $x\geq 3$ . Jadi sudah sesuai.

Sekarang perhatikan pertidaksamaan di atas, yaitu $\dpi{80} x-3<\sqrt{x-1}$ . Pada ruas kanan nilainya selalu positif atau nol, sehingga untuk ruas kiri negatif maka memenuhi pertidaksamaan, Dengan demikian $x-3<0\Leftrightarrow x<3$ dan $x\geq -1$ (batasan di bawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan. $x<3$ dan $x\geq -1$ ekuivalen dengan $-1\leq x< 3$ . Jadi 1 dan 2 juga merupakan penyelesaian pertidaksamaan. Jadi penyelesaiannya adalah, 1, 2, 3, dan 4. Banyak penyelesaian bilangan bulat sebanyak 4.

Menyelesaikan pertidaksamaan irasional harus memperhatikan batasan (syarat) yang perlu diberikan, yaitu batasan di bawah tanda akar dan batasan ketika mengkuadratkan. Kita sering melupakan mengenai batasan, sehingga penyelesaian suatu pertidaksamaan menjadi salah, walaupun sepertinya langkah-langkah penyelesaian tidak ada yang salah.

peluang matematika

Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional

0 komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog